Số hữu tỉ là gì? Giải thích chi tiết và ví dụ dễ hiểu

1. Định nghĩa số hữu tỉ là gì và ký hiệu

Khái niệm cốt lõi về số hữu tỉ

Vậy, số hữu tỉ là gì? Số hữu tỉ là những số có thể biểu diễn được dưới dạng phân số a/b, trong đó 'a' và 'b' là các số nguyên (thuộc tập hợp Z) và điều kiện bắt buộc là mẫu số 'b' phải khác 0 (b ≠ 0). 
Sở dĩ có tên gọi "hữu tỉ" là vì nó thể hiện một "tỉ số" giữa hai số nguyên. Điều này bao gồm cả các số nguyên (ví dụ: 5 có thể viết là 5/1), các phân số thông thường (ví dụ: 1/2, -3/4) và cả số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn (ví dụ: 0.5 = 1/2; 0.333... = 1/3). Như vậy, tập hợp số tự nhiên (N) và tập hợp số nguyên (Z) đều là tập con của tập hợp số hữu tỉ.

Cách viết và ký hiệu tập hợp số hữu tỉ (q)

Các số như -7 (viết là -7/1), 0 (viết là 0/1), 9/2, -5/3, 0.25 (viết là 1/4) đều thuộc tập hợp Q. Một điểm cần lưu ý là một số hữu tỉ có thể có nhiều cách biểu diễn dưới dạng phân số khác nhau (ví dụ: 1/2 = 2/4 = 3/6), nhưng chúng đều đại diện cho cùng một giá trị trên trục số. Việc hiểu rõ ký hiệu giúp chúng ta dễ dàng diễn đạt và hiểu các vấn đề liên quan đến số hữu tỉ là gì.

Số hữu tỉ

2. Cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Tại sao cần biểu diễn số hữu tỉ trên trục số?

Trục số cung cấp một cái nhìn trực quan, giúp chúng ta xác định vị trí tương đối của một số hữu tỉ so với các số khác, đặc biệt là so với số 0 và các số nguyên. Khi biểu diễn trên trục số, các số hữu tỉ được sắp xếp theo một thứ tự rõ ràng: số đứng bên phải luôn lớn hơn số đứng bên trái. Điều này cực kỳ hữu ích khi cần so sánh hai hay nhiều số hữu tỉ, ví dụ như so sánh 1/2 và 3/4, hoặc -2/3 và -1/2. 

Các bước cụ thể để biểu diễn một số hữu tỉ

Để biểu diễn một số hữu tỉ dạng a/b (giả sử là phân số tối giản và b > 0) trên trục số, bạn có thể thực hiện theo các bước sau: 
Đầu tiên, vẽ trục số và xác định ước lượng vị trí các số nguyên, đặc biệt là số 0 và các số nguyên lân cận giá trị của a/b. 
Tiếp theo, chia đoạn thẳng đơn vị (ví dụ đoạn từ 0 đến 1 nếu a/b dương và nhỏ hơn 1, hoặc đoạn từ 0 đến -1 nếu a/b âm và lớn hơn -1) thành 'b' phần bằng nhau. 
Cuối cùng, bắt đầu từ điểm 0, di chuyển 'a' phần theo chiều dương (sang phải) nếu a > 0, hoặc 'a' phần theo chiều âm (sang trái) nếu a < 0. Điểm dừng lại chính là vị trí biểu diễn số hữu tỉ a/b. 

Số hữu tỉ

3. Các tính chất quan trọng của số hữu tỉ

Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng/nhân

Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ có hai tính chất rất quen thuộc là tính giao hoán và tính kết hợp. Tính giao hoán cho biết thứ tự thực hiện phép toán không làm thay đổi kết quả (a + b = b + a và a * b = b * a). Ví dụ, 1/2 + 3/4 cũng bằng 3/4 + 1/2. Tương tự, (1/2) * (-2/3) cũng bằng (-2/3) * (1/2). Tính kết hợp cho phép chúng ta nhóm các số hạng hoặc thừa số một cách linh hoạt mà không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng ((a + b) + c = a + (b + c) và (a * b) * c = a * (b * c)). 

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Đây là một tính chất liên kết giữa phép nhân và phép cộng. Tính chất phân phối phát biểu rằng: a * (b + c) = a * b + a * c. Điều này có nghĩa là khi nhân một số hữu tỉ với tổng của hai số hữu tỉ khác, bạn có thể nhân số đó lần lượt với từng số hạng trong tổng và sau đó cộng các kết quả lại. 

Mối liên hệ với các tập hợp số khác

Như đã đề cập ở phần định nghĩa, tập hợp số hữu tỉ (Q) có mối quan hệ chặt chẽ với các tập hợp số cơ bản khác là tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, ...} và tập hợp số nguyên Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Mọi số tự nhiên đều là số nguyên, và mọi số nguyên đều là số hữu tỉ. Cụ thể, bất kỳ số nguyên 'n' nào cũng có thể được viết dưới dạng phân số n/1, thỏa mãn định nghĩa của số hữu tỉ (vì n là số nguyên, 1 là số nguyên và 1 ≠ 0). Do đó, chúng ta có mối quan hệ bao hàm: N ⊂ Z ⊂ Q. Việc hiểu rõ vị trí của tập hợp Q trong hệ thống các tập hợp số giúp bạn có cái nhìn tổng quan và hệ thống hơn về cấu trúc của toán học, đồng thời củng cố thêm sự hiểu biết số hữu tỉ là gì.

Số hữu tỉ

4. Ví dụ và ứng dụng thực tế của số hữu tỉ

Ngoài những ví dụ đời thường, số hữu tỉ có mặt trong hầu hết các lĩnh vực đòi hỏi sự đo lường và tính toán chính xác. Trong kỹ thuật và xây dựng, các số đo chiều dài, diện tích, thể tích, các tỉ lệ bản vẽ thường được biểu diễn bằng số hữu tỉ (dưới dạng phân số hoặc số thập phân). Trong tài chính và kinh tế, lãi suất ngân hàng (ví dụ: 6.5%/năm = 6.5/100), tỷ giá hối đoái, sự thay đổi giá cổ phiếu thường được biểu thị bằng số hữu tỉ. Trong khoa học máy tính, mặc dù máy tính thường làm việc với số nhị phân, việc biểu diễn các giá trị không nguyên như tọa độ, xác suất cũng dựa trên các nguyên tắc của số hữu tỉ. Ngay cả trong âm nhạc, tỉ lệ giữa các tần số nốt nhạc tạo nên các quãng nhạc hài hòa cũng là các số hữu tỉ đơn giản. Rõ ràng, hiểu biết về số hữu tỉ là gì là cần thiết trong rất nhiều ngành nghề.
Qua bài viết này, chúng tôi hy vọng đã cung cấp cho bạn cái nhìn đầy đủ và dễ hiểu về số hữu tỉ là gì. Chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu định nghĩa cơ bản của số hữu tỉ là các số viết được dưới dạng a/b (b ≠ 0), cách biểu diễn chúng trên trục số một cách trực quan, các tính chất toán học quan trọng như giao hoán, kết hợp, phân phối, và thấy được sự hiện diện rộng rãi của chúng qua các ví dụ thực tế.